浮点数计算中的精度丢失

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1 js浮点数运算精度丢失

如果你用过js计算浮点数你肯定会遇到过下面这种情况：(我的小学白读了吗==。)

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2
3
4
5
0.2 + 0.4 === 0.6000000000000001
> true

0.2 + 0.4 === 0.6
> false

（其实不只是js，你用其他的IEEE 754浮点数标准的语言也能遇到相同的问题）

为什么会这样呢？

因为你的浮点数首先要被转化成二进制存储到内存中，然后才被计算。丢失的精度其实是在浮点数转化成二进制时发生的。（你可能还不是特别明白，下面会进一步解释）

2 浮点数转化二进制

浮点数要怎么转化成二进制？

十进制: ${11.11= 110^1 + 110^0 + 110^{-1} + 110^{-2}}$

二进制: ${11.11= 12^1 + 12^0 + 12^{-1} + 12^{-2}}$

十进制1.6要转化成二进制需要分成两部分，

整数部分要做的是： 除2取余
1%2 = 1
小数部分要做的是：乘2取整
0.6*2 = 1 + 0.2
0.2*2 = 0 + 0.4
0.4*2 = 0 + 0.8
0.8*2 = 1 + 0.6
0.6*2 = 1 + 0.2
…
你会发现得到的二进制1.10011…. 是一个无穷长的无限循环二进制小数。

为什么会这样，其实十进制中的0.5相当于一的一半，类似的二进制中的0.1相当于一的一半。（0-1-2）
那十进制0.6代表着二进制中0.1的1/6。
所以在0.0到0.9中只有0和0.5有对应具体的二进制表示。

所以答案就出来了，如果你把一个无限循环的二进制数放入不管是32还是64位的系统中肯定是只能取其中的一部分存储，那被截取的一部分就是浮点数计算的时候有时会丢失精度的原因。

3 国际标准IEEE 754

任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：

$$V = {(-1)^S * M * 2^E}$$

  1. (-1)^s表示符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数。
  2. M表示有效数字，大于等于1，小于2。
  3. 2^E表示指数位。

举例来说:
十进制的5.0，写成二进制是101.0，相当于1.01×2^2。那么，按照上面V的格式，可以得出s=0，M=1.01，E=2。
十进制的-5.0，写成二进制是-101.0，相当于-1.01×2^2。那么，s=1，M=1.01，E=2。

2.1 内存中的浮点数

IEEE 754规定，对于32位的浮点数，最高的1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M。对于64位的浮点数，最高的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M。

IEEE 754规定，在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。

2.2 特殊的指数E

首先，E为一个无符号整数（unsigned int）。这意味着，如果E为8位，它的取值范围为0255；如果E为11位，它的取值范围为02047。但是，我们知道，科学计数法中的E是可以出现负数的，所以E的真实值必须再减去一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。

比如，2^10的E是10，所以保存成32位浮点数时，必须保存成10+127=137，即10001001。

然后，指数E还可以再分成三种情况：

  • E不全为0或不全为1。这时，浮点数就采用上面的规则表示，即指数E的计算值减去127（或1023），得到真实值，再将有效数字M前加上第一位的1。
  • E全为0。这时，浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023），有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。
  • E全为1。这时，如果有效数字M全为0，表示±无穷大（正负取决于符号位s）；如果有效数字M不全为0，表示这个数不是一个数（NaN）。

参考：
[代码之谜（五）- 浮点数（谁偷了你的精度？）] (http://justjavac.com/codepuzzle/2012/11/11/codepuzzle-float-who-stole-your-accuracy.html)
浮点数的二进制表示